• English

편미분방정식 예제

상수 $C$를 결정하기 위해, 우리는 초기 조건에 대한 방정식에 솔루션을 연결 $y(2) = 3$: begin{align*} 3 & = frac{-1}{frac{7}{4^4^4 +C}. end{align*} 상수 $C $는 begin{align*} C = -28frac{{1}{3}==-frac{85}}, end{align*} 및 최종 해결책은 begin{align*} y(x) 및 = frac{-1}{7}4}{4}입니다. end{align*} 이 방정식을 해결하는 방법은 특수 통합 계수, μ: 미분 방정식 만들기가 첫 번째 주요 단계입니다. 그러나 우리는 또한 예를 들어, 봄이 시간이 지남에 따라 위아래로 바운스하는 방법을 발견하기 위해 그것을 해결해야합니다. 미분 방정식을 분리하려면 미분 방정식의 모든 (y)를 미분 방정식에 곱해야 하며 미분 방정식의 모든 (x)는 동일한 기호의 다른 쪽에 있어야 합니다. 임의상수 A를 사용하며 모든 사례를 다룹니다. 미분 방정식은 물리학, 엔지니어링 및 기타 과학 분야에서 많은 문제에서 발생하는 미분 방정식과 같은 원래의 미분 방정식에 연결하여 이것이 해결책임을 쉽게 확인할 수 있습니다. 다음 예제에서는 정확한 해가 존재하는 몇 가지 간단한 경우에서 미분 방정식을 해결하는 방법을 보여 준다. 따라서 작업을 좀 더 쉽게 진행하려면 (eqref{eq:eq3})를 사용하여 미분 방정식에 대한 해결책을 찾습니다. 또한 통합을 수행 한 후 명시적 솔루션 (y(x)에 대해 해결할 수있는 암시적 솔루션이 있습니다. 명시적 솔루션에 대해 항상 해결할 수 있는 것은 아닙니다. 참고 1 : 우리는 이제 미분 방정식으로 (간단한) 예제를 작성하고 있습니다.

이전에는 이 예제를 다음과 같은 기본 정수로 작성했습니다. 이러한 값을 특정 솔루션을 찾기 위해 일부(a)에서 찾은 방정식으로 대체합니다. 이 미분 방정식을 해결하기 위해 우리는 먼저 (x)에 관하여 양측을 통합, 스프링에 진동 질량의 위의 모델은 그럴듯하지만 매우 현실적이지 않다 : 실제로, 마찰은 질량을 감속하고 크기를 가지고하는 경향이있다 속도에 비례합니다(즉, dx/dt). 가속도와 힘의 균형을 표현하는 새로운 미분 방정식은 미분 방정식을 해결하는 방법의 전체 목록이 아니지만 시작해야합니다.이 미분 방정식은 분리 할 수 있습니다. 따라서 미분 방정식을 분리하고 양쪽을 통합해 보겠습니다. 선형 첫 번째 순서와 마찬가지로 공식적으로 우리는 동등한 기호의 각 측면에 있는 적분에서 양쪽에 일정한 통합을 선택할 것입니다. 두 가지는 같은 쪽으로 이동하고 서로 흡수 될 수있다. 우리는 결국 (y)에 대해 해결될 것이므로 상수는 어쨌든 그 쪽에서 끝날 것이라는 점을 감안할 때 (x)와 함께 단일 상수를 측면에 두는 규칙을 사용합니다. 이것은 위에 나열된 다른 두 간격 중 하나가 미분 방정식에 대한 솔루션에 대한 유효 기간일 수 없다는 것을 의미하지는 않습니다. 적절한 초기 조건으로 이 중 하나가 유효성 의 간격이 될 수 있습니다. 우리는 또한 이러한 솔루션의 많은 유효성의 간격에 대해 걱정 해야 합니다. 유효 기간의 간격은 솔루션이 유효한 경우 독립 변수 (x)의 범위입니다.

즉, 0, 복잡한 숫자, 음수 또는 0의 로그 로그로 구분을 피해야 합니다. 분리 가능한 미분 방정식에서 얻을 수 있는 대부분의 솔루션은 (x)의 모든 값에 대해 유효하지 않습니다.